Dá para juntar o T de water com a vogal E, mas não dá pra juntar TH de weather com a vogal E e querer fazer o mesmo som do TE como na palavra water.

Não sei os nomes técnicos dessas coisas; o que acontece em muitos cursos é que muitos professores ensinam pronuncias erradas e depois vicios de linguagem são criados.

Assisti uma palestra com um professor chamado Jack Richards, uns 20 anos atrás, criador da série InterChange da editora Cambridge, e ele disse que esses erros, esses vicios, se chamam "fossilização".

Na dúvida consulte youtube ou bons dicionários como Merriam Webster, em geral todos esses bons dicionários tem a opção de ouvir a pronúncia.