Sim, você pode usar forget com esse sentido (esquecer de trazer algo). Porém normalmente não se especifica o local em que o objeto foi deixado:

Se você quiser especificar o local em que deixou o objeto, o verbo leave seria mais usual:

Se quiser saber mais sobre o assunto, veja os seguintes links:

http://dictionary.cambridge.org/pt/gramatica/gramatica-britanica/forget-or-leave

http://speakspeak.com/confusing-words/forget-leave

Só uma observação: A frase "I've forgotten my umbrella at home" não está errada do ponto de vista gramatical. Porém é menos usual entre os falantes nativos.

Espero ter ajudado,

Tiago