Conforme o PPAULO explicou, a pronúncia da palavra "the" normalmente é a seguinte:

/ðə/ (antes de consoante) - "the ball"

/ði/ (antes de vogal ou para dar ênfase) - "the apple"

Esse som /ð/ não existe em português, então para nós pode soar como /ts/ ou /dz/. No entanto, trata-se de uma fricativa interdental, então para pronunciá-la corretamente é necessário colocar a ponta da língua entre os dentes superiores e inferiores. Quando os nativos pronunciam rapidamente, às vezes é difícil perceber claramente o som. Porém essa é a pronúncia padrão na maioria das variantes do inglês e os nativos realmente usam o som /ð/.

Recomendo dar uma lida na seguinte página:

http://www.sk.com.br/sk-conso.html (em especial no item "D")

Para treinar, recomendo também assistir a alguns vídeos de nativos no site a seguir: